图神经网络导论

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大纲

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监督学习

所有样本都有类别标记

任务类型：

• 二分类：$y \in \{ 1, -1 \}$或者$y \in \{ 0,1 \}$
• 多分类：$y \in [C] \triangleq \{ 1, 2, \ldots, C \}$
• 回归：$y \in \Rbb$
• 结构预测：$y$可以是向量、序列、语法树、……

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监督学习 回归

线性回归：用最小二乘求解超定方程组 (方程个数比未知数多)

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半监督学习

只有部分样本有类别标记，如何利用其它未标记样本？

任务类型：

• 直推式 (transductive) 学习：预测$\xv_{l+1}, \ldots, \xv_{l+u}$的类别标记，可以没有显式模型
• 归纳 (inductive) 学习：必须有显式模型，能对未知样本进行预测，包含前者

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无监督学习

所有样本都没有类别标记

任务类型：

• 聚类：$\xv_i \mapsto c_i \in [K]$，根据一定的准则将样本划分成$K$个簇 (cluster)
• 降维或嵌入：$\xv_i \mapsto \zv_i \in \Rbb^l$，为样本学习新的特征，自编码 (autoencoder)
• 密度估计：估计样本空间的概率密度$P(\xv)$，寻找数据的生成机制

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无监督学习 聚类

• 原始数据由 6 个簇组成
• K 均值算法指定聚成 4 个簇，每种颜色对应一个簇，菱形为簇中心
• 红色和蓝色各由 2 个簇组成

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无监督学习 密度估计

• 直方图是最简单的密度估计方法，数数即可，对间隔的选择极其敏感
• 核密度估计：$\rho(\zv) = \sum_{i \in [m]} \kappa ((\zv-\xv_i)/h)$

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无监督学习 密度估计

• 直方图是最简单的密度估计方法，数数即可，对间隔的选择极其敏感
• 核密度估计：$\rho(\zv) = \sum_{i \in [m]} \kappa ((\zv-\xv_i)/h)$

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形式化

常用概念及其符号：

• $\Xcal \subseteq \Rbb^d$为输入空间，$d$称为维度 (dimension)
• $\Ycal$为输出空间，对于分类问题$\Ycal = \{ 0,1 \} \mid \{ \pm 1 \} \mid [C]$，对于回归问题$\Ycal = \Rbb$
• $\Dcal$为定义在$\Xcal \times \Ycal$上的未知分布
• $\Scal = \{(\xv_1, y_1), \ldots, (\xv_m, y_m)\}$为独立同分布 (IID) 采样于$\Dcal$的训练数据集
• $\Hcal = \{ h: \Xcal \mapsto \Ycal \}$是候选分类器构成的假设空间，从中选择最优假设$h^\star$

如何评估假设$h$的好坏？$h$在整个分布$\Dcal$上的表现

目标：最小化期望风险，也称为泛化风险

$$ \begin{align*} \min_{h \in \Hcal} ~ \color{red}{R(h)} = \Ebb_{(\xv, y) \sim \Dcal}[1_{h(\xv) \neq y}] \end{align*} $$

难点：$\Dcal$未知，泛化风险无法计算，可以计算$h$在$\Scal$上的经验风险

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经验风险最小化

以训练数据上的经验风险替代泛化风险

$$ \begin{align*} \class{red}{R(h)} = \Ebb_{(\xv, y) \sim \Dcal}[1_{h(\xv) \neq y}] ~ \longleftarrow ~ \class{blue}{R_\Scal (h)} = \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} 1_{h(\xv_i) \neq y_i} \end{align*} $$

根据大数定律，当样本数趋向于无穷时，经验风险趋向于泛化风险

如果对假设空间不做任何限制，可能会得到

$$ \begin{align*} h(\xv) = - \prod_{i \in [m]: y_i = 1} \| \xv -\xv_i \|^2 \end{align*} $$

问题：

• 对正类输出零，对负类输出负数，经验风险为零
• 对未知样本的预测非常糟糕，因为它只是在强行记住见过的训练样本

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过拟合

启示：在经验风险和假设空间复杂度之间取得平衡

问题：假设空间复杂度怎么算？有什么量能够刻画它？

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VC 维

基本思想：假设空间复杂度应体现出对数据集的拟合能力

假设空间$\Hcal = \{ h: \Xcal \mapsto \{1,-1\} \}$，数据集$S = \{\xv_1, \ldots, \xv_m\}$，定义

$$ \begin{align*} H_\Scal = \{ (h(\xv_1), \ldots, h(\xv_m)) \mid h \in \Hcal \} \end{align*} $$

其中$H_\Scal$中每个元素都是对$S$赋予类别标记的可能结果，若$H_\Scal$包含了全部可能的结果，即$|H_\Scal| = 2^m$，则称假设空间$\Hcal$可以打散数据集$\Scal$

假设空间$\Hcal$的 VC 维是能被$\Hcal$打散的最大集合的大小，即

$$ \begin{align*} \VC(\Hcal) = \max \{ m \mid \exists S:~|H_\Scal| = 2^m \} \end{align*} $$

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VC 维

基本思想：假设空间复杂度应体现出对数据集的拟合能力

二维平面上的线性划分：$\Xcal = \Rbb^2$，$\Hcal$为二维平面上直线集合

• 存在 3 个样本构成的集合，8 种可能类别标记赋值均是线性可分的
• 对于任意 4 个样本构成的集合，总有一种类别标记赋值线性不可分
• $\Hcal$的 VC 维为 3
• $\Rbb^n$中超平面集合的 VC 维为$n+1$

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VC 维

根据集中度不等式有如下泛化界

$$ \begin{align*} \class{red}{\underbrace{R(h)}_{泛化风险}} \leq \class{blue}{\underbrace{R_\Scal(h)}_{经验风险}} + \class{yellow}{\underbrace{\tilde{O} \left(\sqrt{\VC维/样本数~~~~~~~~~~}~ \right)}_{置信区间}} \end{align*} $$

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结构风险最小化

• 构造嵌套的假设空间序列
  $\Hcal_1 \subseteq \cdots \subseteq \Hcal_t \subseteq \cdots$
• 在$\Hcal_t$上经验风险最小化得到$h_t$，$R_\Scal (h_1) \geq \cdots \geq R_\Scal (h_t) \geq \cdots$
• VC维序列
  $\VC(\Hcal_1) \leq \cdots \leq \VC(\Hcal_t) \leq \cdots$
• $h^\star = \min_{h_t} \{ \class{blue}{经验风险} + \class{yellow}{置信区间} \}$

问题：

• 如何计算$\VC(h_t)$？$\Xcal$无穷维，$\Hcal_t$超平面集合，$\VC$维无穷？
• 若假设空间$\Hcal_t$为超平面集合，当维度趋向于无穷时，VC 维也趋向于无穷

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间隔和宽打散维

启示：VC 维分布无关、数据独立，导出的泛化界有点“松”

方案：引入数据相关的量加强泛化界，在无穷维空间也可以学习

设$\Hcal = \{ h: \Xcal \mapsto \Rbb \}$是定义在特征空间$\Xcal$上的实值函数集合，对于$\forall h \in \Hcal$，其关于样本$(\xv_i, y_i)$的间隔定义为$\gamma_i = y_i f(\xv_i)$

若对数据集$\Scal$的任一类别标记赋值，均存在假设$h \in \Hcal$和$\gamma > 0$使得$y_i h(\xv_i) \ge \gamma$，则称$\Scal$被$\Hcal$以$\gamma$打散，$\Hcal$的宽打散维$\mathrm{fat}_\Fcal(\gamma)$是能被$\Hcal$以$\gamma$打散的最大集合的大小

特别的，取$\Hcal = \{ \xv \mapsto \wv^\top \xv \mid \|\wv\| = 1 \}$，则能将$\Scal$以$\gamma$打散的超平面称为$\gamma$-间隔超平面，即对$\forall i \in [m]$有$y_i \wv^\top \xv_i \ge \gamma$

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最大间隔准则

间隔$\gamma$越大，宽打散维越小，泛化界越紧

最大间隔准则：最小化经验风险 $\wedge$ 最大化间隔

$$ \begin{align*} \max_{\wv} \quad - \lambda \cdot \class{blue}{0} + \class{green}{\gamma} \qquad & \st \quad y_i \wv^\top \xv_i / \|\wv\| \geq \gamma,~ \forall i \in [m] \\ & \Updownarrow \notag \\ \max_{\wv} \quad \hat{\gamma} / \|\wv\| \qquad & \st \quad y_i \wv^\top \xv_i \geq \hat{\gamma},~ \forall i \in [m] \\ & \Updownarrow \notag \\ \max_{\wv} \quad 1 / \|\wv\| \qquad & \st \quad y_i \wv^\top \xv_i \geq 1,~ \forall i \in [m] \\ & \Updownarrow \notag \\ \min_{\wv} \quad \|\wv\| \qquad & \st \quad y_i \wv^\top \xv_i \geq 1,~ \forall i \in [m] \end{align*} $$

即等价于在$1$-间隔超平面构成的假设空间中寻找最小范数假设

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正则化

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ \lambda \cdot \underbrace{\Omega(\wv)}_{正则化项} + \underbrace{R_\Scal (\wv)}_{经验风险} \end{align*} $$

• $\ell_2$正则：$\Omega(\wv) = \| \wv \|_2^2$，得到稠密的$\wv$
• $\ell_1$正则：$\Omega(\wv) = \| \wv \|_1$，得到稀疏的$\wv$，附带特征选择的作用
• $\ell_\infty$正则：$\Omega(\wv) = \| \wv \|_\infty$，得到所有分量值相同的$\wv$
• $\ell_{2,1}$正则：$\Omega(\wv) = \sum_j \| \wv_j \|_2$，特征分组，组内稠密，组间稀疏
• $\ell_{1,2}$正则：$\Omega(\wv) = (\sum_j \| \wv_j \|_1)^2$，特征分组，组内稀疏，组间稠密
• 弹性网：$\ell_1$正则和$\ell_2$正则的线性组合
• OSCAR：$\ell_1$正则和成对$\ell_\infty$正则的线性组合

假设不成立？特征空间不存在$\gamma$-间隔超平面

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非线性映射

问题：输入空间若不存在$\gamma$-间隔超平面？

方案：将数据映射到新的特征空间使其尽量线性可分

$$ \begin{align*} f(\xv; \wv, b) = \wv^\top \xv + b ~ \longrightarrow ~ f(\xv; \wv, b) = \wv^\top [\phi_1(\xv); \ldots; \phi_K(\xv)] + b \end{align*} $$

• $\wv, b$是待学习的参数
• $\phi_k: \Rbb^d \mapsto \Hbb$是非线性映射

问题：

• 很难确定什么样的非线性映射能保证样本在新的特征空间线性可分
• 即便恰好找到了使得样本线性可分的映射，如何确定其没有引起过拟合

方案：允许约束$y_i \wv^{\top} \xv_i \geq 1$对少数样本不成立

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替代损失

基本思想：允许约束$y_i \wv^{\top} \xv_i \geq 1$对少数样本不成立

$$ \begin{align*} \min_{\wv} ~ \lambda \cdot \underbrace{\Omega(\wv)}_{正则化项} + \frac{1}{m} \underbrace{\sum_{i \in [m]} 1_{y_i \wv^\top \xv_i < 1} }_{破坏约束的样本数} \end{align*} $$

难点：指示函数$1_{\cdots}$非凸非连续，导致问题很难求解

方案：用另一个函数$l(y, f(\xv))$替代，称为替代损失，一般需满足

• 数学性质好，问题容易求解，例如凸连续函数
• 是指示函数$1_{y \cdot h(\xv) < 0}$的上界，从而利用集中度不等式可得到泛化界：

$$ \begin{align*} & \class{red}{R (h)} = \Ebb_{(\xv, y) \sim \Dcal} [ 1_{y \cdot h(\xv) < 0} ] \leq \Ebb_{(\xv, y) \sim \Dcal} [ l(y, h(\xv)) ] \\ & ~~ \leq \class{blue}{\frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} l(y_i, f(\xv_i))} + [ ~ \class{yellow}{\text{VC}} \mid \class{yellow}{\text{Rademacher}} \mid \class{yellow}{\text{covering number}} \mid \ldots ~ ] \end{align*} $$

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替代损失

基本思想：允许约束$y_i \wv^{\top} \xv_i \geq 1$对少数样本不成立

$$ \begin{align*} \min_{\wv} ~ \lambda \cdot \underbrace{\Omega(\wv)}_{正则化项} + \frac{1}{m} \underbrace{\sum_{i \in [m]} l(y_i, f(\xv_i))}_{替代损失} \end{align*} $$

凸连续函数，指示函数$1_{y \cdot h(\xv) < 0}$的上界

常见替代损失

• 平方损失：$l(y, f(\xv)) = (y - f(\xv))^2$，岭回归
• hinge 损失：$l(y, f(\xv)) = \max \{ 0, 1 - y f(\xv) \}$，软间隔支持向量机
• 平方 hinge 损失：$l(y, f(\xv)) = [\max \{ 0, 1 - y f(\xv) \}]^2$
• $\epsilon$-不敏感损失：$l(y, f(\xv)) = \max \{ 0, |y - f(\xv)| - \epsilon \}$，支持向量回归
• 指数损失：$l(y, f(\xv)) = \exp (- y f(\xv))$
• 对数几率损失：$l(y, f(\xv)) = \log (1 + \exp (- y f(\xv)))$，对数几率回归

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模型求解

即采用优化算法求出如下优化问题的最优解

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ F(\wv) \triangleq \lambda \cdot \Omega(\wv) + \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} l(y_i, f(\xv_i)) \end{align*} $$

梯度下降 (GD)：$\wv_{t+1} \leftarrow \wv_t - \eta_t \nabla F(\wv_t)$，其中$\eta_t$称为步长或学习率

问题：当样本数$m$很大时，梯度$\nabla F(\wv_t)$计算开销很大

方案：小批量梯度下降，随机采样一个下标子集$\Bcal_t \subseteq [m]$

$$ \begin{align*} \wv_{t+1} \leftarrow \wv_t - \eta_t \left( \frac{1}{|\Bcal_t|} \sum_{i \in \Bcal_t} \nabla l(y_i, f(\xv_i)) + \lambda \cdot \nabla \Omega(\wv) \right) \end{align*} $$

若$|\Bcal_t| = 1$，则为常说的随机梯度下降 (SGD)

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GD vs. SGD

更新公式：

$$ \begin{align*} & \wv_{t+1} \leftarrow \wv_t - \eta_t \left( \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} \nabla l(y_i, f(\xv_i)) + \lambda \cdot \nabla \Omega(\wv) \right) \\ & \wv_{t+1} \leftarrow \wv_t - \eta_t \left( \frac{1}{|\Bcal_t|} \sum_{i \in \Bcal_t} \nabla l(y_i, f(\xv_i)) + \lambda \cdot \nabla \Omega(\wv) \right) \end{align*} $$

• 当数据集中有冗余样本时，SGD 可以减少重复计算
• 迭代前期，SGD 更新频率快，较 GD 优势明显
• 迭代后期，GD 会停止于最优解处，SGD 则只能在最优解附近震荡
• 越靠近最优解，梯度越接近零，因此 GD 可以用恒定步长
• 最优解处随机梯度不一定为零，故 SGD 必须用衰减步长，否则算法不会停止
• SGD 因随机采样带来的噪声若能随着迭代而受到抑制，则可进一步加速，机器学习顶会有大量相关工作，包括 SAG，SAGA，SVRG 等及其它们的衍生变种

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加速梯度下降

当目标函数的变量尺度不同时，梯度下降效率很低

动量法 (momentum)：$\wv_{t+1} = \wv_t - \eta_t \nabla F(\wv_t) + \gamma (\wv_t - \wv_{t-1})$

• 相对于梯度下降，多了第三项，上一轮的更新方向
• 参数$\gamma < 1$，通常取$0.9$

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动量法

$$ \begin{align*} \wv_{t+1} - \wv_t & = - \eta_t \nabla F(\wv_t) + \gamma (\wv_t - \wv_{t-1}) \\ \gamma (\wv_t - \wv_{t-1}) & = - \eta_{t-1} \gamma \nabla F(\wv_{t-1}) + \gamma^2 (\wv_{t-1} - \wv_{t-2}) \\ & \vdots \\ \gamma^{t-1} (\wv_t - \wv_{t-1}) & = - \eta_1 \gamma^{t-1} \nabla F(\wv_1) + \mathtip{\gamma^t (\wv_1 - \wv_0)}{因为\wv_1 = \wv_0，故该项等于零} \\ \Longrightarrow ~ \wv_{t+1} - \wv_t & = - \sum_{i \in [t]} \eta_i \gamma^{t-i} \nabla F(\wv_i) \end{align*} $$

动量法每步更新是历史梯度的加权平均

• 若近期梯度方向不太一致，则真实的更新幅度变小，减速，增加稳定性
• 若近期梯度方向较为一致，则真实的更新幅度变大，加速，加快收敛

Nesterov 加速梯度 (NAG)：改进动量法的第二步

$$ \begin{align*} \begin{cases} \widetilde{\wv} = \wv_t + \gamma (\wv_t - \wv_{t-1}) \\ \wv_{t+1} = \widetilde{\wv} - \eta_t \class{yellow}{\nabla F (\wv_t)} \end{cases} ~ \longrightarrow ~ \begin{cases} \widetilde{\wv} = \wv_t + \gamma (\wv_t - \wv_{t-1}) \\ \wv_{t+1} = \widetilde{\wv} - \eta_t \class{yellow}{\nabla F (\widetilde{\wv})} \end{cases} \end{align*} $$

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动量法 vs. NAG

第$t$轮迭代示意图：

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大纲

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线性回归

正则化项 + 损失函数：

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ \lambda \cdot \Omega(\wv) + \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} l(y_i, f(\xv_i)) \end{align*} $$

• 线性模型：$f(\xv) = \wv^\top \xv + b$
• 平方损失：$l(y, f(\xv)) = (y - f(\xv))^2$
• 正则化项：无，即采用经验风险最小化

$$ \begin{align*} \min_{\wv,b} ~ \frac{1}{2} \sum_{i \in [m]} (\wv^\top \xv_i + b - y_i)^2 = \frac{1}{2} \| \Xv^\top \uv - \yv \|_2^2 \end{align*} $$

其中$\yv = [y_1; \cdots; y_m]$，$\uv \triangleq [\wv; b]$，$\Xv = \begin{bmatrix} \xv_1 & \xv_2 & \cdots & \xv_m \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

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岭回归

$$ \begin{align*} \min_{\uv} ~ F(\uv) \triangleq \frac{1}{2} \| \Xv^\top \uv - \yv \|_2^2 = \frac{1}{2} \uv^\top \Xv \Xv^\top \uv - \uv^\top \Xv \yv + \frac{1}{2} \yv^\top \yv \end{align*} $$

易知$\nabla F(\uv) = \Xv \Xv^\top \uv - \Xv \yv$

• 若$\Xv \Xv^\top$可逆，可得最优解$\uv^\star = (\Xv \Xv^\top)^{-1} \Xv \yv$
• 若$\Xv \Xv^\top$不可逆，可采用梯度下降$\uv_{t+1} \leftarrow \uv_t - \eta_t \Xv (\Xv^\top \uv_t - \yv)$进行求解

当$\Xv \Xv^\top$近似不可逆时，其最小特征值接近零，模型会变得不稳定：

$$ \begin{align*} \uv^\star = (\Xv \Xv^\top)^{-1} \Xv \yv \longrightarrow \uv^\star = (\Xv \Xv^\top + \lambda \Iv)^{-1} \Xv \yv \end{align*} $$

修正后的解对应带$\ell_2$正则的线性回归，亦称为岭 (ridge) 回归：

$$ \begin{align*} \min_{\uv} ~ \frac{\lambda}{2} \|\uv\|_2^2 + \frac{1}{2} \| \Xv^\top \uv - \yv \|_2^2 \end{align*} $$

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LASSO

正则化项 + 损失函数：

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ \lambda \cdot \Omega(\wv) + \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} l(y_i, f(\xv_i)) \end{align*} $$

• 线性模型：$f(\xv) = \wv^\top \xv$
• 平方损失：$l(y, f(\xv)) = (y - f(\xv))^2$
• 正则化项：$\ell_1$正则

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ \lambda \| \wv \|_1 + \frac{1}{2} \| \Xv^\top \wv - \yv \|_2^2 \end{align*} $$

• 全称叫最小绝对收缩选择算子 (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)
• 它求得的$\wv$只有极少数非零分量，因此附带特征选择的作用

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感知机

正则化项 + 损失函数：

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ \lambda \cdot \Omega(\wv) + \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} l(y_i, f(\xv_i)) \end{align*} $$

• 线性模型：$f(\xv) = \wv^\top \xv$
• 损失函数：$l(y, f(\xv)) = \max \{ 0, - y \wv^\top \xv \}$，该损失不是指示函数的上界
• 正则化项：无，即采用经验风险最小化

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ F(\wv) \triangleq \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} \max \{ 0, - y_i \wv^\top \xv_i \} \end{align*} $$

目标函数$F(\wv)$关于$(\xv_i, y_i)$的随机次梯度为$\frac{\partial F(\wv)}{\partial \wv} = - y_i \xv_i 1_{y_i \wv^\top \xv_i < 0}$

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感知机

算法即为采用随机次梯度下降进行求解的过程

输入：训练集$\{ (\xv_1, y_1), \ldots, (\xv_m, y_m) \}$，迭代次数$T$，$\wv_0 \leftarrow \zerov$，$k \leftarrow 0$

1. for $t = 1, \ldots, T$ do
2.   随机对训练样本进行排序
3.   for $i = 1, \ldots, m$ do
4.     if $y_i \wv_k^\top \xv_i < 0$ then
5.       $\wv_{k+1} \leftarrow \wv_k + y_i \xv_i$
6.       $k \leftarrow k + 1$
7.     end
8.   end
9. end

输出：$\wv_k$

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感知机

在线性可分的数据上，感知机必然可以收敛：

给定训练集$\Scal = \{ (\xv_i, y_i) \}_{i \in [m]}$，如果$\Scal$线性可分，即存在$\gamma > 0$和$\wv$使得对$\forall i \in [m]$有$y_i \wv^\top \xv_i \geq \gamma$，设$r = \max_i \| \xv_i \|$，则感知机的权重更新次数不超过$r^2 / \gamma^2$

不足之处:

• 感知机虽然可以找到一个超平面把两类数据分开，但并不能保证泛化能力
• 感知机对接收的样本顺序敏感，当顺序发生变化时求得的分类超平面也会随之变化
  改进方案：投票感知机，输出迭代过程中的所有$\wv_k$的线性组合，正确分类样本次数越多的$\wv_k$，系数越大
• 如果训练集不是线性可分的，感知机永远不会收敛

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支持向量机

正则化项 + 损失函数：

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ \lambda \cdot \Omega(\wv) + \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} l(y_i, f(\xv_i)) \end{align*} $$

• 线性模型：$f(\xv) = \wv^\top \xv + b$
• Hinge 损失：$l(y, f(\xv)) = \max \{ 0, 1 - y f(\xv) \}$
• 正则化项：$\ell_2$正则

$$ \begin{align*} \min_{\wv,b} & ~ \frac{1}{2} \| \wv \|_2^2 + \frac{\lambda}{m} \sum_{i \in [m]} \max \{ 0, 1 - y_i (\wv^\top \xv_i + b) \} \\ & \class{blue}{\bigg \Downarrow ~ \max \{ 0, 1 - y_i (\wv^\top \xv_i + b) \} = \epsilon_i} \\ \min_{\wv,b} & ~ \frac{1}{2} \| \wv \|_2^2 + \frac{\lambda}{m} \sum_{i \in [m]} \epsilon_i, \quad \st ~ y_i (\wv^\top \xv_i + b) \geq 1 - \epsilon_i, ~ \epsilon_i \geq 0 \end{align*} $$

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支持向量机

当$n \gg m$时，求解支持向量机对偶问题更为方便

$$ \begin{align*} \min_{\alphav} ~ \frac{1}{2} \alphav^\top \Yv \Xv \Xv^\top \Yv \alphav - \ev^\top \alphav \quad \st ~ \zerov \leq \alphav \leq \frac{\lambda}{m} \ev, ~ \yv^\top \alphav = 0 \end{align*} $$

支持向量机的解法比较多

• 原问题：(随机) 次梯度下降，割平面法
• 对偶问题：SMO，坐标下降

支持向量机 vs. 感知机

• 共同点：解具有稀疏性，即$\wv$只与少数样本 (支持向量) 有关
• 支持向量机的泛化能力有严格理论保证，感知机没有
• 支持向量机的分类超平面是唯一且确定的，位于两类样本的正中间，对数据采样较为鲁棒，感知机求得的分类超平面不唯一，依赖样本顺序

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支持向量回归

正则化项 + 损失函数：

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ \lambda \cdot \Omega(\wv) + \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} l(y_i, f(\xv_i)) \end{align*} $$

• 线性模型：$f(\xv) = \wv^\top \xv + b$
• $\epsilon$-不敏感损失：$l(y, f(\xv)) = \max \{ 0, |y - f(\xv)| - \epsilon \}$
• 正则化项：$\ell_2$正则

$$ \begin{align*} \min_{\wv,b} ~ \frac{1}{2} \| \wv \|_2^2 + \frac{\lambda}{m} \sum_{i \in [m]} \max \{ 0, |\wv^\top \xv_i + b - y_i| - \epsilon \} \end{align*} $$

• Hinge 损失在部分区域可以取零值，这使得支持向量机的解具有稀疏性，只与产生损失的那些样本 (支持向量) 有关
• 推广到回归问题就是支持向量回归，故$\epsilon$-不敏感损失也要在部分区域取零值

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对数几率回归

正则化项 + 损失函数：

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ \lambda \cdot \Omega(\wv) + \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} l(y_i, f(\xv_i)) \end{align*} $$

• 线性模型：$f(\xv) = \wv^\top \xv + b$
• 对数几率损失：$l(y, f(\xv)) = \log (1 + \exp (- y f(\xv)))$
• 正则化项：$\ell_2$正则

$$ \begin{align*} \min_{\wv,b} ~ \frac{1}{2} \| \wv \|_2^2 + \frac{\lambda}{m} \sum_{i \in [m]} \log (1 + \exp (- y_i (\wv^\top \xv_i + b))) \end{align*} $$

初衷：

• 让分类器的输出结果具有自然的概率意义
• 支持向量机的输出若想具有概率意义，还需进行额外的后处理

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对数几率回归

引入从预测值到概率的映射$\sigma: \Rbb \mapsto [0,1]$

$$ \begin{align*} \sigma(z) = \frac{1}{1 + \exp (-z)} = \begin{cases} 1 & z \rightarrow \infty \\ 0 & z \rightarrow -\infty \end{cases}, ~ 1 - \sigma(z) = \frac{1}{1 + \exp (z)} = \sigma(-z) \end{align*} $$

• 设预测$\xv$为正类的概率$p(y=1|\xv) = \sigma(\wv^\top \xv + b)$
• 预测$\xv$为负类的概率$p(y=-1|\xv) = 1 - \sigma(\wv^\top \xv + b) = \sigma(-\wv^\top \xv-b)$
• 预测结果分布可记为$\pv = [\sigma(\wv^\top \xv + b); \sigma(-\wv^\top \xv-b)]$
• 由于$y \in \{ \pm 1 \}$，真实类别分布可记为$\qv = [\frac{1+y}{2}; \frac{1-y}{2}]$
• 分布$\pv$和$\qv$之间的差异可作为替代损失

问题：给定分布$\qv$，如何度量分布$\pv$与它之间的差异？

交叉熵$H_{\qv} (\pv) = - \sum_i q_i \log p_i = \sum_i q_i \log (1/p_i)$，当$\pv = \qv$时交叉熵最小

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对数几率回归

$$ \begin{align*} \min_{\pv} ~ H_{\qv} (\pv) = - \sum_i q_i \log p_i = \sum_i q_i \log (1/p_i), \quad \st ~ \sum_i p_i = 1 \end{align*} $$

拉格朗日函数为$L = - \sum_i q_i \log p_i + \alpha (\sum_i p_i - 1)$，于是

$$ \begin{align*} \frac{\partial L}{\partial p_i} = - \frac{q_i}{p_i} + \alpha = 0 ~ \Longrightarrow ~ p_i = \frac{q_i}{\alpha} ~ \Longrightarrow ~ \alpha = 1 ~ \Longrightarrow ~ p_i = q_i \end{align*} $$

对数几率回归：$\qv = [\frac{1+y}{2}; \frac{1-y}{2}]$，$\pv = [\sigma(\wv^\top \xv + b); \sigma(-\wv^\top \xv-b)]$

$$ \begin{align*} H_{\qv} (\pv) & = \frac{1+y}{2} \log (1 + \exp (-\wv^\top \xv - b)) + \frac{1-y}{2} \log (1 + \exp (\wv^\top \xv + b)) \\ & = \begin{cases} \log (1 + \exp (-\wv^\top \xv - b)) & y = 1 \\ \log (1 + \exp (\wv^\top \xv + b)) & y = -1 \end{cases} \\ & = \log (1 + \exp (- y (\wv^\top \xv + b))) \end{align*} $$

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对数几率回归

$$ \begin{align*} H_{\qv} (\pv) = \log (1 + \exp (- y (\wv^\top \xv + b))) \end{align*} $$

交叉熵损失应用到二分类问题上就退化成了对数几率损失

记$p_+ = p(y=1|\xv)$，$p_- = p(y=-1|\xv) = 1 - p_+$，则

$$ \begin{align*} p_+ = \frac{1}{1 + \exp (-(\wv^\top \xv + b))} ~ \Longrightarrow ~ \wv^\top \xv + b = \ln \frac{p_+}{1-p_+} = \ln \frac{p_+}{p_-} \end{align*} $$

• $p_+$与$p_-$的比值反映了预测为正类的相对可能性，称为几率
• 用线性模型$\wv^\top \xv + b$拟合几率的对数$\ln (p_+/p_-)$，故称为对数几率回归
• 虽然名为回归，但本质上是一个分类模型
• 让预测结果具有概率意义的代价是牺牲了解的稀疏性，预测的计算开销更大
• 对数几率回归另一个优势是可以很自然地推广到多分类

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多分类对数几率回归

设共有$C$个类，预测函数$f(\xv) = \argmax_{c \in [C]} (\wv_c^\top \xv + b_c)$

引入$\Rbb^C \mapsto \Delta^C$的 Softmax 映射：

$$ \begin{align*} p(y = c | \xv) & = \frac{\exp (\wv_c^\top \xv + b_c)}{\sum_{c' \in [C]} \exp (\wv_{c'}^\top \xv + b_{c'})} \\ & = \frac{\exp ((\wv_c - \wv_C)^\top \xv + b_c - b_C)}{\sum_{c' \in [C-1]} \exp ((\wv_{c'} - \wv_C)^\top \xv + b_{c'} - b_C) + 1} \end{align*} $$

令$\wv_c \leftarrow \wv_c - \wv_C$，$b_c \leftarrow b_c - b_C$，记$p_c = p(y = c | \xv)$，于是

$$ \begin{align*} p_c = \frac{\exp (\wv_c^\top \xv + b_c)}{\sum_{c' \in [C-1]} \exp (\wv_{c'}^\top \xv + b_{c'}) + 1}, \quad p_C = 1 - \sum_{c' \in [C-1]} p_c \end{align*} $$

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多分类对数几率回归

$$ \begin{align*} p_c = \frac{\exp (\wv_c^\top \xv + b_c)}{\sum_{c' \in [C-1]} \exp (\wv_{c'}^\top \xv + b_{c'}) + 1}, \quad p_C = 1 - \sum_{c' \in [C-1]} p_c \end{align*} $$

对于样本$(\xv_i, y_i)$，$\qv_i = [1_{y_i=1}, 1_{y_i=2}, \ldots, 1_{y_i=C}]$为$y_i$的独热编码

$$ \begin{align*} \pv_i & = [p_1, \ldots, p_{C-1}, p_C] = \frac{[ \exp (\wv_1^\top \xv_i + b_1), \ldots, \exp (\wv_{C-1}^\top \xv_i + b_{C-1}), 1 ]}{\sum_{c' \in [C-1]} \exp (\wv_{c'}^\top \xv_i + b_{c'}) + 1} \end{align*} $$

采用交叉熵$H_{\qv_i} (\pv_i)$作为替代损失可得多分类对数几率回归

$$ \begin{align*} \min_{\wv_c, b_c} & ~ \frac{1}{2} \sum_{c \in [C-1]} \| \wv_c \|_2^2 + \frac{\lambda}{m} \sum_{i \in [m]} \sum_{c \in [C]} [\qv_i]_c \log \frac{1}{[\pv_i]_c} \end{align*} $$

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多分类对数几率回归

当$C = 2$时

$$ \begin{align*} H_{\qv} (\pv) & = - 1_{y=1} \log \frac{\exp (\wv_1^\top \xv + b_1)}{ \exp (\wv_1^\top \xv + b_1) + 1} - 1_{y=2} \log \frac{1}{ \exp (\wv_1^\top \xv + b_1) + 1} \\ & = 1_{y=1} \log (1 + \exp (- \wv_1^\top \xv - b_1)) + 1_{y=2} \log (1 + \exp (\wv_1^\top \xv + b_1)) \end{align*} $$

将第$2$类类别标记记为$-1$，则$H_{\qv} (\pv) = \log (1 + \exp (- y (\wv_1^\top \xv + b_1)))$

神经网络视角：

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小结

正则化项 + 损失函数：

$$ \begin{align*} \min_\wv ~ \lambda \cdot \Omega(\wv) + \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} l(y_i, f(\xv_i)) \end{align*} $$

以上线性模型均可通过引入核映射实现非线性预测能力